三维旋转矩阵和刚体旋转(Object Rotation in 3D Space)
by lucainiaoge
如何描绘一个向量在三维世界中的旋转？如何描绘一个物体在三维世界中的旋转？
- 基础知识required：空间向量的概念
我们知道,在三维空间中，描绘一个三维列向量$\pmb{v}$逆时针绕着$z$轴旋转$\theta$角度，可以用这个矩阵来表示：
那么$Rv$就是旋转之后的向量了！
（如果不能理解，可以试试推导一下二维空间中向量绕原点旋转的矩阵）
同理，绕着x轴,y轴旋转的矩阵如下：
接下来：我们试着求一下三维空间中任何一个向量$\pmb{n_2}$绕着原点旋转到$z$轴方向的矩阵：肯定要经历两次二维旋转！
如上图：先绕$x轴$转到$xOz$平面，再绕$y轴$转到$z$方向。构造出来旋转矩阵：
(上图中$\alpha \beta$ 的直角坐标计算公式就不给出了！)
那么$\pmb{n_2}=\pmb{R_1} \pmb{R_2} \pmb{e_z}$
我们令$\pmb{R_z}=\pmb{R_1R_2}$，即为将z单位向量$\pmb{e_z}$旋转到任意向量$\pmb{n}$的旋转矩阵（简记为z旋转矩阵）。$\pmb{R^{-1}}$即为将任意向量$\pmb{n}$旋转到$\pmb{e_z}$方向的旋转矩阵。
如何将任意向量$\pmb{n_1}$旋转到另一个任意向量$\pmb{n_2}$的方向？设$\pmb{n_1}$的z旋转矩阵为$\pmb{R_{z1}}$，$\pmb{n_2}$的z旋转矩阵为$\pmb{R_{z2}}$，那么先将$\pmb{n_1}$转到z轴，再将z轴转到$\pmb{n_2}$，得到$\pmb{n_2}=\pmb{R_{z2}}\pmb{R_{z1}^{-1}}\pmb{n_1}$
Rotation of Object
我们已知某个物体初始时刻的任意质点的位矢$\pmb{r}(x,y,z)$。现在，我们想描述这个物体绕着原点随便转动，转动的角度按球坐标系刻画，为：$xOy平面极角\beta$，$z轴极角\alpha$。对应的z旋转矩阵为$\pmb{R_{z}}$。
如果知道这个物体某个质点$\pmb{P}$位于$\pmb{e_{z}}$方向时其他质点相对于这个质点的位矢为$\pmb{\Delta r}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$，那么$\pmb{R_{z}P}+\pmb{\Delta r}$即为刚体任意其他质点的方向了~
描述一个物体，只需要知道其一个位矢$\pmb{r}$（一般为质心），要旋转物体，只需要对$\pmb{r}$进行操作：$\pmb{R_{z}} \pmb{r}$，其余质点按照相对位置分配即可。
本文作者： lucainiaoge
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